산수와 수학의 차이

수학을 선행학습 하는 것이 아무 소용이 없고, 오히려 역효과가 나기 쉽다는 연구 보고가 많이 나왔지만, 대다수의 부모들은 좀처럼 믿으려 하지 않는다. 특히 아이를 특목고에 보내겠다는 생각을 지니고 있다면, 초등학생에 고등학교 수학을 선행시키는 일도 다반사로 벌어진다.

나 역시 선행학습은 백해무익하다고 생각하지만, 그런 말을 해 봐야 ‘당신이 무슨 입시 전문가라고 되냐?’라는 반발을 사기 십상일 것이다. 그래서 오늘은 왜 선행학습이 오히려 아이의 수학적 사고력이나 창의력을 망칠 수 있는지, 한 번 생각해 볼 거리를 제공하기로 하겠다.

내가 초등학교(당시는 국민학교)를 다닐 때는 ‘수학’이 아니라 ‘산수’를 배웠다. 딸아이가 초등학교에 들어간 뒤에 보니까 산수가 수학으로 이름이 바뀌어 있었다. 내용은 그다지 변하지 않았는데….

초등학생에게는 ‘수학’이 아니라 ‘산수’를 가르쳐야 한다고 생각한다. 초등 산수 문제야말로 논리적 사고, 창의적 문제 해결의 보물창고이기 때문이다. 창의적인 과학자나 엔지니어는 ‘수학적 방법’이 아니라 ‘산수적 방법’으로 문제를 풀어보는 경험에서 나온다고 생각한다.

그렇다면 수학적 방법과 산수적 방법은 무엇이 다를까?

수학은 그동안 위대한 수학자들이 발견하고 정리해 온 수학적 개념과 공식 등을 이용해서 문제를 푸는 일이다. 즉, 방정식, 피타고라스의 정리, 사인, 코사인 같은 것을 사용해서 문제를 푸는 것을 말한다.

산수는 오로지 도형과 표 그리고 사칙연산만을 사용해 문제를 푸는 일이다. 사용할 수 있는 도구가 많지 않기 때문에 머리를 무척 많이 써야 한다. 그런 과정에서 논리적 사고와 창의적인 발상을 익힐 수 있다.

간단한 예를 들어보자.

혹시 ‘암산비법’이라는 것을 들어본 적이 있으신지? 암산실력을 늘려준다는 책을 보면, 여러 가지 암산 테크닉이 나온다. 그 중에 ‘십합일등(十合一等)’이라는 것이 있다. (이것 역시 인도 베다 수학에서 나온 것이라고 한다.)

* 십합일등(十合一等) : 십의 자릿수의 합이 10이고

1의 자릿수가 같은 수의 곱셈 공식

이를테면 이런 숫자들의 곱셈을 말한다.

67×47 : 10의 자릿수의 합이 10(6+4)이고, 1의 자릿수가 7로 같다.

72×32 : 10의 자릿수의 합이 10(7+3)이고, 1의 자릿수가 2로 같다.

암산비법을 이용한 계산 순서는 이렇다.

(1) 10의 자릿수의 곱에 1의 자릿수를 더한다.

(2) 1의 자릿수를 곱한다. 단 결과가 한자리인 경우는 앞에 0을 붙인다.

(3) (1)에서 구한 결과와 (2)에서 구한 결과를 붙인다.

(즉, (1)에서 구한 결과에 100을 곱하고, (2)의 결과를 더한다.)

무척 헷갈리실 것이다. 연습해 보자.

67×47 = ?

(1) 6×4 +7 = 31

(2) 7×7 = 49

(3) 31과 49를 붙이면 3149

(31×100 +49 = 3149)

따라서 67×47 = 3149

72×32 = ?

(1) 7×3+2 = 23

(2) 2×2 = 4 (한자리이므로 0을 붙여 04를 만든다.)

(3) 23과 04를 붙이면 2304

(23×100+4 = 2304)

따라서 72×32 = 2304

이런 것을 보고 ‘신기하다’고 생각하는 것에 그친다면 수학을 잘할 수 없다. 왜 이런 신기한 일이 벌어지는 지 이유를 찾아내는 것이 수학 실력을 높이는 길이다. 수학을 잘하려면 ‘완벽한 이해’가 필요하고, 완벽한 이해는 본인이 납득할 때까지 끊임없이 ‘왜?’라고 묻는 과정에서 얻어지기 때문이다. 왜 이런 공식이 성립하는지 ‘왜?’를 살펴보자. 그런데 그 이유를 밝히는 데는 두 가지 방법이 있다. 하나는 ‘수학적 방법’이고, 또 하나는 ‘산수적 방법’이다.

먼저 수학적 방법을 보자. 중2 정도의 수학실력을 갖춘 사람이라면 문자식을 이용해 쉽게 증명할 수 있다.